William Brouncker

Fonctions
Président; Gresham College
1664-1667
Président de la Royal Society
1662-1677
Joseph Williamson
Lord-garde du Grand Sceau (en)
1662-1684
Vicomte Brouncker (en)
Naissance	Vers 1620; Castlelyons (en) (royaume d'Irlande)
Décès	5 avril 1684; Londres (royaume d'Angleterre)
Sépulture	Church of the Holy Saviour (d)
Époque	Génération du XVIIe siècle (d)
Formation	Université d'Oxford (docteur) (jusqu'en 1647)
Activités	Mathématicien, professeur d'université
Père	William Brouncker, 1st Viscount Brouncker of Lyons (d)
Mère	Winifred Leigh (d)
A travaillé pour	Gresham College (à partir de 1657)
Membre de	Royal Society (1660)

William Brouncker, né à Castle Lyons (Irlande) en 1620 et décédé à Westminster en 1684, est un linguiste et mathématicien anglais.

Le vicomte William Brouncker, plus connu de nos jours sous le nom de Lord Brouncker, obtient un doctorat de philosophie à l'université d'Oxford en 1647. Il est l'un des fondateurs et le premier président de la Royal Society, en 1660. En 1662, il devient chancelier de la reine Catherine, puis maître de l'hôpital Sainte-Catherine. Ses travaux mathématiques portent en particulier sur la rectification (mesure des longueurs) de la parabole et de la cycloïde ainsi que sur la quadrature (mesure des aires) de l'hyperbole. Il est le premier, en Angleterre, à s'intéresser aux fractions continues généralisées.

Formule de Brouncker

En 1655, Brouncker communique sans démonstration à son ami Wallis un développement de $4/ π$ ^[1] dont la forme est d'une nouveauté déroutante^[2]. Ce dernier l'intègre aussitôt à son ouvrage^[3], avec une tentative^[4] de justification. Depuis, de nombreuses représentations en fractions continues généralisées de $k π$ , $k /π$ et $k /(π 2 - n)$ ont été obtenues^[5].

Le développement de Brouncker est :

{\frac {4}{\pi }}=1+{\dfrac {1^{2}}{2+{\dfrac {3^{2}}{2+{\dfrac {5^{2}}{2+{\dfrac {7^{2}}{2+{\dfrac {9^{2}}{2+{\dfrac {11^{2}}{2\ +\ ...}}}}}}}}}}}}.

Les valeurs de ses réduites sont :

$1+{1^{2} \over 2}={3 \over 2}$

${1+{1^{2} \over 2+{3^{2} \over 2}}}={15 \over 13}$

${1+{1^{2} \over 2+{3^{2} \over 2+{5^{2} \over 2}}}}={105 \over 76}$
etc.

et sont exactement^[6] les inverses des sommes partielles de la formule de Leibniz :

{\pi  \over 4}=1-{1 \over 3}+{1 \over 5}-{1 \over 7}+...

$1-{1 \over 3}={2 \over 3}$

$1-{1 \over 3}+{1 \over 5}={13 \over 15}$

$1-{1 \over 3}+{1 \over 5}-{1 \over 7}={76 \over 105}$
etc.

Notes et références

↑ (en) Jacques Dutka, « Wallis's product, Brouncker's continued fraction, and Leibniz's series », Arch. Hist. Exact Sci., vol. 26, n^o 2,‎ 1982, p. 115-126.
↑ Huyghens douta de cette formule jusqu'à ce que Brouncker montre que les 10 premières décimales qu'elle fournissait pour $π$ étaient bien celles connues : (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « William Brouncker », sur MacTutor, université de St Andrews.
↑ (la) John Wallis, Arithmetica infinitorum, 1655, Prop. 191.
↑ « Unfortunately, Wallis' s efforts to reconstruct Brouncker's argument do not take us very far […] Wallis had explained what Brouncker had set out to do, but not why; what he had achieved but not how. » : (en) Jacqueline Stedall, A Discourse Concerning Algebra : English Algebra to 1685, OUP, 2002, 294 p. (ISBN 978-0-19-852495-3, lire en ligne), p. 187-188.
↑ Cf. (en) « Pi: Continued fraction representations (13 formulas) », sur functions.wolfram.com.
↑ Cf. Formule de fraction continue d'Euler.

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[1] (en) Jacques Dutka, « Wallis's product, Brouncker's continued fraction, and Leibniz's series », Arch. Hist. Exact Sci., vol. 26, n^o 2,‎ 1982, p. 115-126.

[2] Huyghens douta de cette formule jusqu'à ce que Brouncker montre que les 10 premières décimales qu'elle fournissait pour $π$ étaient bien celles connues : (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « William Brouncker », sur MacTutor, université de St Andrews.

[3] (la) John Wallis, Arithmetica infinitorum, 1655, Prop. 191.

[4] « Unfortunately, Wallis' s efforts to reconstruct Brouncker's argument do not take us very far […] Wallis had explained what Brouncker had set out to do, but not why; what he had achieved but not how. » : (en) Jacqueline Stedall, A Discourse Concerning Algebra : English Algebra to 1685, OUP, 2002, 294 p. (ISBN 978-0-19-852495-3, lire en ligne), p. 187-188.

[5] Cf. (en) « Pi: Continued fraction representations (13 formulas) », sur functions.wolfram.com.

[6] Cf. Formule de fraction continue d'Euler.

[1]

[2]

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[4]

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